Lp кеңістіктері және Урысон интегралдық операторларының қасиеттері мен үзіліссіздік критерийлері

 Мазмұны Lp кеңістігі және сызықтық операторлар . . . Сызықтық емес Урысон интегралдық операторының кейбір қасиеттері . . . . . Урысон операторының бір классының үзіліссіздік критерийлері . . . . . . Әдебиет . . . . . . . . Lp кеңістігі және сызықтық операторлар 1-анықтама. f(x) өлшемді функциясы жоғарғыдай біз функциялардың шектелуін . Мұндай функциялар жиыны Lp арқылы белгілеу қабылданған (немесе 1-теорема. f(x) функциясы, р>1 дәрежелі қосындыланатын яғни Расында да егер E=[a, b], A=E( ), B=E-A 2-теорема. Lp-ға кіретін екі функцияның қосындысы да осы класқа Шынында да, f(x) және g(x) Lp-ға кіреді делік. E=[a, b], A=E , B=E-A десек, онда , бұдан екендігі шығады. Осылайша біз шекті интегралданатынына көз Мұндағы k – шекті тұрақтылық. р>1 болсын. саны р-ға болаиыны себепті q-ға түйіндес көрсеткіш р бар, демек бұл 3-теорема. Егер , ал , (1) теңсіздігі дұрыс. Дәлелдеуі: 01 болғанда былай болады: (10) Lp- дағы g(x) – функциясының кез келген орнын Гëлдер теңсіздігін пайдалана отырып орташа жинақталу жүйелілігінің (сол шекке) Егер p=1 болса, түйіндес көрсеткіш болмайды. Мұндай жағдайда Қорытындылай келе талдауда кеңістігінде қолданылатын (мұндағы нақты санының Lp кеңістігінде жиынның барлық жүйелілігін x=(x1, x2, саны элементінің нормасы деп Норма енді әдеттегі қасиетке ие. І. және ІІ. және дербес жағдайда ІІІ. . Алғашқы екі қасиет айқын, ал үшінші (9) – дан Е және Е1 – екі сызықтық топологиялық кеңістік болсын. Сызықтық операторда Е Е1 деп y= Ax, шартты қанағаттандыратын айтады. DA жиынтығы А – А операторы нүктесінде үзіліссіз болады, Е және Е1 нормалданған кеңістік болғанда мына анықтама келесіге бұдан шығатыны жиыны Ах=0 үшін А сызықтық операторын ядросы деп аталады, Бұл тараудың басында келтірілген сызықтық функционал ұғымы ол сызықтық Сызықтық емес Урысон интегралдық G және F – ақырғы өлшемді кеңістікте екі өлшемді (1) Урысон операторы дейді. 1-теорема. R(t,s,u) және R1(t,s,u) функциясы Каратеодори шарттын (t G, s F, -∞0 δ= . {un(s)}n≥0 L∞ болсын және (15) (15) үшін ε>0 n0=n0(ε). Мынадай (16) барлық n>n0-де. Келесі . (14) және (16) теңсіздігінен шығады , n>n0 1)=>2) орынды екендігін көрсетеді. K үзіліссіз болсын, K операторы компакт екенін дәлелдейік. үйір функциясын қарастырайық. Т( ) тізбегі {K(t,cn)} болсын. . Сонымен, Т( ) үйір функциясы Lq-де компакт. Сондықтан 1) М=M( ) саны және . 2) Кез келген ε>0 әсері δ=δ(ℓ,ε)>0 . 3) Кез келген ε>0 әсері N=N(ℓ,ε)>0 (19) барлық |c|