Ішкі көбейтінділі кеңістіктердегі унитарлы, түйіндес және өзін-өзі түйіндес операторлар: полярлы жіктелу

 Мазмұны I. Кіріспе II. Негізгі бөлім 1. Унитар кеңістік 2. Оператор, унитар оператор 3. Сызықты түйіндес оператор 4.Өзіне-өзі түйіндес оператор 5. Полярлы жіктелу III. Қорытынды Осыған дейінгі қарастырылған Біз негізгі математикалық Сызықты комплексты кеңестік 1) (х,у) = ( ) 2) ( 3) (x + y, z)=(x,z)+(y,z) 4) (x,x)>0 егер x шарттары орындалса . Келесі кезекте оператрға Математикалық анализдің негізін Ал функционалды тәуелділікті Х бос емес y = A(x) Оны А операторы Х жиыны А операторының Келешекте біз тек А( кез келген u үшін (2) теңсіздік орындалса. Мысал 1. С L:c D (L) = {u(x) Ол мынадай формуламен Lu(x) = - u (x) Берілген оператордың барлық Мысал 2. Үздіксіз функциалар А оператордың анықталу Айталық u онда А(u және А оператор А( Сондықтан А( шарты болғанда ғана орындалады. Бұл фонрмуламен берілген, яғни біртекті Унитар оператор. Дұрыс оператор U унитарлы U U = U Теорема: U дұрыс оператор Дәлелдеу. Егер айталық U 1 = (x,y) = (x,u Енді U дұрыс X = Енді есептейміз. Кез – келген вектор Теорема: U оператор унитар Дәлелі . Айталық U – (х,у) = (x,u Енді қандайда бір (х(U Себебі х, у U теңдік орындалмайды. Сондықтан U яғыни U оператор Сандар. Кез – келген унитарлы Сандар. Егер сызықтық оператор Шынында да, егер Х = Онда; (х,у) = U – сызықтық оператор Ux = Сондықтан (Ux, Uy) = Нәтежиеде (1) теңдік Айта, кететін жайт, біз (х,у) = Түйіндес оператор . Кеңестіктегі сызықтық Айталық екі унитар (Ах,у) = (x,A*y) Теорема: кез – келген Дәлелі: Х кеңестігінде Х = Егер А* оператор А*у = А*у = Бірақ бұл, егер Енді (3) теңдікті (Ах,у) = (A (x,A*y)= Теорема дәлелденді. А* түйіндес оператор А (А*)* = A (A+B)*=A*+B* ( (AB)*=B*+A* (A*) Мұндағы (у,(А*)*х) = (А*у,х) = ( Теңдіктің сол жағы Айталық А оператор е векторлар (у,Ае А оператор азғындалмаған, Кез – келген х, Au = x , A*v орындалса нәтежиеде (х,(А Табамыз. Кез – келген у кез –келген (А Егер А оператор х (А*Ах,х) = (Ax, Ax) (AA*y,y) = (A*y,A*y) Сондықтан х кеңестігінде А*А = G G және Ғ жүйесіне ие. Бұл жүйе Шынында да егер А*Ах Барлық к = 1,2,…….m (Ах Егер к Сондықтан Ах А*А оператордың меншікті АхАх АА*(Ах Сонымен А*А оператордың Әрине кері тұжырым А*А және АА* мынадай тұжырым жасауға Қалған А*А және АА* Оператор А*А және А нормалаған соң Ах Бұл теңдіктерді А* А*у Х,У кеңестіктеріндегі А,А* операторларымен Егер х,у кеңестіктер әртүрлі А Егер х,у кеңестіктер Унитар мәнін көрсететін Айталық сызықтық оператор А = Н Н Бұл жөнінде Н А* = Н Н Бірақ онда Н = Алынған формулалар (1) жіктелуді Н Н - А оператордың дұрыстығын Н Айталық Ах болсын, бар Енді х кеңестігінде Ux (6),(7) өрнектерден келесі А = FU Мұндағы Ғ теріс ортонормаланған жүйеге өткізеді. Ескере АА* = F Яғыни Ғ АА* Жалпы (7) жіктелуді U = F Негізгі А оператордың А*А = U*F* FU = F*U*UF=F Соңғы өрнек (9) бен Айталық А оператор (7) өрнектің екіншісін ескере F теңдеуін (FU)y Болады, барлық k (FU)y Алынған соңғы теңдіктер Қолданылған әдебиеттер 1. В.В. Воеводин. 2. М.А. 3. А.Г. Курош. “Курс высшей алгебры” 4. В.А. Ильин. “Математический анализ”